Prof. Delon Henrique - Física
Movimento acelerado
Um movimento é considerado acelerado ou retardado quando o módulo da velocidade do móvel sofre uma alteração, ou seja, um objeto que se move e sua velocidade aumenta com o passar do tempo, como uma pedra caindo de um penhasco, está em movimento acelerado. Já um objeto que durante o movimento tem sua velocidade reduzida, como uma moeda ao ser atirada para cima - sua velocidade reduz constantemente até chegar a zero na altura máxima - está em movimento retardado.
Se a aceleração e a velocidade têm o mesmo sentido o movimento é acelerado, pois, a velocidade aumentará ao longo do tempo.
Já se o sentido da aceleração e da velocidade são opostos o movimento é retardado, pois, ocorrerá uma diminuição na velocidade.
Matematicamente o sentido dos vetores é definido pelo sinal que o valor apresenta na equação. Então podemos concluir que se os sinais da velocidade e aceleração forem iguais estão no mesmo sentido e portanto o movimento é acelerado, se os sinai forem diferentes o sentido está trocado e portanto o movimento é retardado.
Aceleração média
A aceleração escalar média é dada pela seguinte equação:
MRUV - Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Para que o movimento se enquadre como MRUV temos que levar em consideração algumas coisas:
- O movimento deve ter aceleração constante e diferente de zero;
- Ter um referencial de apenas um eixo de movimento.
Aceleração constatne quer dizer que a velocidade do móvel ira mudar de valores iguais em tempos iguais.
Equações do MRUV
Função Horária das posições:
Função Horária das velocidades:
Equação de Torricelli:
Para aqueles que não lembram vou listar o significado dos termos de cada equação e suas respectivas unidades no SI
S --> é a posição do móvel em função do tempo t (m)
Si --> é a posição inical do móvel que acontece no instante zero, ou seja, no início do movimento (m)
V --> é a velocidade do móvel em função do tempo t (m/s)
Vi --> é a velocidade inical do móvel que acontece no instante zero, ou seja, no início do movimento (m/s)
t --> é o instante de tempo em que vamos analisar o movimento (s)
a --> é a aceleração, e como já foi dito deve ser constante e diferente de zero (m/s²)
ΔS = S - Si --> é o deslocamento escalar do móvel, ou seja, quanto o móvel deslocou de onde estava até onde chegou, para a maioria dos casos pode ser considerado igual a distância percorrida tanto que alguns autores substituem esse termo da equação por "d" (m)
Exercícios Resolvidos
1) Dadas as equações, no SI, abaixo:
I) S = 5 - 10t + 3t²
II) V = 8 + 3t
III) V² = 16 - 8ΔS
IV) S = - 15 - 8t - 2t²
a) Classifique o movimento descrito pelas equações em acelerado ou retardado.
b) Qual a velocidade inicial e aceleração desses móveis?
c) Qual a posição inicial dos móveis descritos nas equações I e IV?
RESOLUÇÃO
a) para classificarmos os movimentos devemos olhar os sinais da velocidade e da aceleração, então o primeiro passo é retirar esses valores das equações;
I) olhando a equação podemos reconhecer a função horária das posições, cuja estrutura é:
S = Si + Vi.t + a.t²/2
vamos comparar com a equação I
S = Si + Vi.t + a.t²/2
S = 5 - 10t + 3t²
então os dados que podemos tirar dessa equação são:
Si = 5 m
Vi = -10 m/s
a = 6 m/s² (6? Isso mesmo! Temos que reparar que o 2 no denominador da equação base - sem números - sumiu, quer dizer que o valor que temos o 3 já é o resultado da divisão e portanto o valor de "a" é 6, pois, 6/2 = 3)
Comparando os sinais percebemos que a velocidade inicial é negativa e que a aceleração é positiva portanto sinais diferentes, podemos afirmar que esse movimento é retardado.
Retardado.
II) olhando a equação podemos reconhecer a função horária das velocidades, cuja estrutura é:
V = Vi + a.t
vamos comparar com a equação II
V = Vi + a.t
V = 8 + 3t
então os dados que podemos tirar dessa equação são:
Vi = 8 m/s
a = 3 m/s²
Comparando os sinais percebemos que a velocidade inicial é positiva e que a aceleração é positiva portanto sinais iguais, podemos afirmar que esse movimento é acelerado.
Acelerado.
III) olhando a equação podemos reconhecer a equação de Torricelli, cuja estrutura é:
V² = Vi² + 2.a.ΔS
vamos comparar com a equação III
V² = Vi² + 2.a.ΔS
V² = 16 - 8ΔS
então os dados que podemos tirar dessa equação são:
Vi = 4 m/s (4? Isso mesmo! o valor é 4 porque a operação de potência sumiu de uma equação para a outra, então podemos concluir que ela foi resolvida e qual numero que ao quadrado - ele vezes ele mesmo - da 16? Resposta é 4, pois, 4x4 = 16)
a = - 4 m/s² (- 4? Isso mesmo! repare que na equação base - sem números - há uma constante de valor 2 multiplicando "a", como essa constante não aparece na segunda equação concluimos que a operação foi resolvida e como 2x(- 4) = - 8, nossa aceleração vale - 4)
Comparando os sinais percebemos que a velocidade inicial é positiva e que a aceleração é negativa portanto sinais diferentes, podemos afirmar que esse movimento é retardado.
Retardado.
IV) olhando a equação podemos reconhecer a função horária das velocidades, cuja estrutura é:
S = Si + Vi.t + a.t²/2
vamos comparar com a equação IV
S = Si + Vi.t + a.t²/2
S = - 15 - 8t - 2t²
então os dados que podemos tirar dessa equação são:
Si = - 15 m
Vi = - 8 m/s
a = - 4 m/s² (- 4? Isso mesmo! Temos que reparar que o 2 no denominador da equação base - sem números - sumiu, quer dizer que o valor que temos o - 2 já é o resultado da divisão e portanto o valor de "a" é - 4, pois, (- 4)/2 = - 2)
Comparando os sinais percebemos que a velocidade inicial é negativa e que a aceleração é negativa portanto sinais iguais, podemos afirmar que esse movimento é acelerado.
Acelerado.
Resumindo apenas pelos sinais:
I) S = 5 - 10t + 3t² --> Retardado.
II) V = + 8 + 3t --> Acelerado.
III) V² = + 16 - 8ΔS --> Retardado.
IV) S = - 15 - 8t - 2t² --> Acelerado.
Obs.: Devido a explicação detalhada eu já resolvi todos os itens dentro da resposta do item a), então vou apenas colocar os dados sem maiores explicações nos itens b) e c)
b)
I) Vi = - 10 m/s; a = 6 m/s²
II) Vi = 8 m/s; a = 3 m/s²
III) Vi = 4 m/s; a = - 4 m/s²
IV) Vi = - 8 m/s; a = - 4 m/s²
c)
I) Si = 5 m
IV) Si = - 15 m
2) Um carro inicalmente em repouso com aceleração constate de 8 m/s², parte da posição 25 m de uma pista retilínea de 250 m. Determine:
a) a função horária das posições;
b) a função horária das velocidades;
c) a posição e a velocidade no instante t = 4 s;
d) O tempo e a velocidade ao chegar no fim da pista.
RESOLUÇÃO
dados retirados do enunciado:
Si = 25 m
o móvel parte do repouso, portanto, Vi = 0
a = 8 m/s²
posição final da pista 250 m
a)
S = Si + Vi.t + a.t²/2
S = 25 + 0.t + 8.t²/2
S = 25 + 4t²
b)
V = Vi +a.t
V = 0 + 8.t
V = 8t
c)
devemos calcular:
S = ? (m) e V = ? (m/s)
para t = 4 s
Primeiro vamos calcular S usando a equação obtida no item "a)"
S = 25 + 4t²
S = 25 +4 . 4²
S = 25 + 4 . 16
S = 25 + 64
S = 89 m
Agora vamos calcular V usando a equação obtida no item "b)"
V = 8t
V = 8 . 4
V = 32 m/s
d)
Como temos a posição final 250 m devemos utilizar a função horária das posições do móvel para calcualr o tempo gasto
S = 25 + 4t²
250 = 25 + 4t²
250 - 25 = 4t²
225 = 4t²
225/4 = t²
t² = 225/4
aplicando raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminarmos a potência de "t" temos:
t = √(225/4)
como os dois valores possuem raiz exata nao a necessidade de fazer a divisão primeiro podemos resolver as raizes separadamente e depois efetuar a divisão
t = 15/2
t = 7,5 s
Obs.: Como esse é o resultado de uma equação de segundo grau exitem duas raízes possíveis 7,5 e -7,5. Mas como o resultado é o tempo fica sem sentido considerarmos um tempo negativo, portanto, a resposta negativa é descartada.
agora que temos o tempo gasto para percorrer a pista podemos achar a velocidade final
V = 8t
V = 8 . 7,5
V = 60 m/s
3) Um motociclista, partindo do repouso, percorre uma distância de 0,45 Km por uma avenida em linha reta, sabendo que a aceleração é constante e vale 1 m/s², calcule, no SI, a velocidade ao fim do trajeto e o tempo gasto.
RESOLUÇÃO
ΔS = 0,45 Km = 450 m (sempre devemos prestar atenção nas unidades de medida se elas não estiverem de acordo converta!)
Vi = 0
a = 1 m/s²
V = ? (m/s)
t = ? (s)
como não temos o tempo ainda podemos usar a Equação de Torricelli para calcualr a velocidade
V² = Vi² + 2.a.ΔS
V² = 0² + 2 . 1 . 450
V² = 900
V = √900
V = 30 m/s
Obs.: Como esse é o resultado de uma equação de segundo grau exitem duas raízes possíveis 30 e -30. Mas como o resultado é a velocidade e o exercício não estabeleceu um sentido para a trajetória podemos escolher o valor positivo para facilitar os cálculos futuros, já que o sinal para a velocidade, em física, só representa o sentido do movimento em relação à trajetória.
Agora falta apenas calcular o tempo
V = Vi + a.t
30 = 0 + 1.t
30 = t
t = 30 s
4) Considerando que ao final do trajeto do exercício anterior o motociclista acione os freios, a uma aceleração constante, e consegue parar a moto na posição 0,6 Km. Calcule quanto tempo o motociclista levou para parar a motocicleta depois de ter acionado os freios.
RESOLUÇÃO
Para resolver esse exercício vamos precisar de alguns dados do exercício anterior já que é uma nova situação devemos montar uma nova equação para descrever esse movimento
S = 0,6 Km = 600 m
Si = 0,45 Km = 450 m (final do trajeto do exercício anteriror)
Vi = 30 m/s (velocidade no final do exercício anteriror)
V = 0 (como o motociclista consegue parar a moto sua velocidade final tem que ser 0)
como não sabemos os valores de "a" e de "t" vamos usar a Equação de Torricelli para calcular "a" para depois poder calcular "t"
ΔS = S- Si = 500 - 650 = 150 m
V² = Vi² + 2.a.ΔS
0² = 30² + 2.a.150
0 = 900 + 300a
-900 = 300a
-900/300 = a
a = -3 m/s²
agora que temos o valor de "a" podemos usar qualquer uma das funções horárias para descobriri o valor de "t". Vou resolver pelos dois métodos e assim você pode comparar os resultados e escolher o qual preferir.
Usando a função horária das velocidades (mais curto!)
V = Vi +a.t
0 = 30 + (-3.t)
0 = 30 -3t
3t = 30
t = 30/3
t = 10 s
Usando a função horária das posições (mais longo!)
S = Si + Vi.t + a.t²/2
600 = 450 + 30.t + (-3).t²/2
600 = 450 + 30t -3t²/2
600 - 450 = 30t -3t²/2
150 = 30t -3t²/2
para facilitar a resolução vamos multiplicar toda equação por 2, temos:
300 = 60t -3t²
3t² -60t +300 = 0
agora vamos resolver a equação de segundo grau
a = 3, b = -60, c = 300
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-60)² -4 . 3 . 300
Δ = 3600 - 3600
Δ = 0
t = (-b ± √Δ) / (2.a)
t = [-(-60) ± √0] / (2 . 3)
t = 60/6
t = 10 s
Como vocês podem perceber os resultados são idênticos. Mas calcular o tempo usando a função horária das posições nem sempre é uma tarefa simples, então fica a dica: se tiver os dados necessários para usar a função horária das velocidades pra resolver os exercícios de calculo de tempo geralmente você encontrará um caminho mais simples